数学归纳法, 也就是英文里的Mathematical Induction, 这本书叫做《中学数学专题丛书》的第11册, 它把数学归纳法作为核心主题。
这方法是高中用来证明和正整数有关系的命题的最标准方法工具。这一节直接给出了完整的操作路径, 这样做是为了帮助读者在最短的时间里掌握怎么进行证明, 怎么写出来, 还有怎么避开那些容易出错的地方。
两步结构（核心操作）
在进行数学归纳法证明的时候, 我们必须并且只需要去完成那两个步骤才行, 是绝对不能够缺少其中一个的。
采取基础步这一动作, 也就是要去验证当变量n取它的初始数值的时候, 那个指定的命题是能够成立的。通常情况下, 我们会让n等于1。当然也可以根据命题定义域的具体规定来取值, 比如让n等于0, 或者让n等于2等等情况, 只要确保在这些初始值条件下, 命题确实是成立的就行了。
归纳步: 我们首先要假设, 当 n 等于 k 的时候, 也就是 k 大于或等于初始值的情况发生时, 那个命题确实是成立的。然后, 在这个假设成立的前提条件下, 我们去进一步推证和分析, 看看是不是也能证明在 n 变成 k+1 的时候, 那个命题同样是能够成立的。
在进行完这两个步骤之后, 得出的最终结论是, 对于所有符合特定条件的正整数 n, 命题都是成立的, 这种逻辑上的本质可以被解释为“多米诺骨牌”效应, 也就是说, 当第一块骨牌倒下时, 这代表了基础步已经完成, 而每一块倒下的骨牌都必然会推倒紧随其后的下一块骨牌, 这一部分属于归纳步的内容, 正因为具备了这两重条件, 所以所有的骨牌就会依次全部倒下。
标准书写模板（以等式为例）
题目是证明一加二加三一直加到n的和等于分母为二的n加上n的平方, 其中n属于自然数。
当 n = 1 的时候, 左边等于 1, 右边的值是 1乘以2再除以2数学归纳法//中学数学专题丛书11，算出来也是 1, 所以等式是成立的。
假设当 n 等于 k 且 k 属于正整数集合的时候, 那个等式是靠谱的, 也就是从 1 开始一直加到 k, 结果正好等于 k 乘以括号里头的 (k 加 1) 的和, 最后再除以 2, 用 HTML 标出来的就是N的部分。
> 那么, 就要去考虑到, 当变量n等于k加1的时候这个情况。
等式的左边等于1加上2一直加到k再加上k加1, 这个值等于k乘以k加1再除以2的结果加上k加1, 最终的计算结果是k加1乘以k加2再除以2的值。
右边等于(k+1)乘以(k+1加1)再除以2。这步可以写成(k+1)乘以(k+2)再除以2。
把左边的部分看作是等于右边的部分, 这就意味着当n等于k加1的时候, 这个等式就是成立的。
>
由步骤（1）和步骤（2）, 根据数学归纳法的原理, 可以知道等式对于所有属于正整数集合的 n 都是成立的。
书写要点归纳那一步必须显式地写出在假设 n=k 时成立这个条件, 并且要非常明确地使用等式 k(k+1)/2 来进行代换操作, 绝对不能跳过这个假设步骤而直接进行硬算。
常见题型四类
高频易错点（考前重点排查）
1. 在归纳步骤当中, 没有使用那个假设条件, 而是直接去计算 n 等于 k+1 的情况, 并没有借助 k乘以k加1再除以2这个公式, 这样做的话, 就直接导出了证明结果是无效的这个结论。
2. 因为命题从 n=2 才开始有意义, 但是初始值却选错了, 导致只对 n=1 进行了验证。
3. 这句话在结论部分说得不够完整, 仅仅是写了当 n 等于 k+1 的时候成立, 但是没有加上因为这样所以对所有正整数的 n 都成立这样的结尾句子来收尾。
4. 在归纳步骤当中, 进行放缩操作之后, 必须保证不等式的方向不会发生逆转的情况出现。
配套练习与拓展
建议你按照《中学数学专题丛书》第11册里面编排好的顺序, 把那个内容做完。前面的基础等式部分, 是从第1节到第3节, 然后中间的不等式与整除部分, 是第4节到第6节, 后面的递推与综合部分, 是第7节到第9节。对于每一节精选出来的2到3道题目, 你进行一遍精心的练习就行了。
这样做的话, 就能覆盖到高考还有竞赛入门所需要的那些全部题型了。系统整理好的电子讲义和答案解析, 你可以通过网上访问www.ldrk.org.cn这个网站, 然后点击里面的数学专题板块去找, 这样方便你拿去对照着检查自己的工作做得怎么样。
