在中学数学教学的整个过程里面, 比喻这种做法, 其实就是把那些比较抽象的数学结构, 跟学生们已经有的生活常识建立起来一种对应的关系, 这是非常重要的一个教学策略。
因为根据那个叫做《义务教育数学课程标准（2022年版）》里面的规定, 还有它要求的那种“从具体经验走向抽象概括”的理解路径, 比喻就成了连接那种日常说的“生活语言”和正式的“数学符号”的一个关键性环节, 这个环节会直接影响到学生对相关概念进行理解时的深度好不好,或者说这种理解的持久性能不能保持久一点中学数学中的比喻, 这是一个很明显的直接影响的关系。
五种高频比喻及其对应数学内容
1. 坐标系等于十字路口的定位办法。 把平面直角坐标系想象成城市中道路的交叉之处, x轴代表东西方向, y轴代表南北方向, 而原点就是最中间的交汇地点。
学生只需要说出“向东走3步、向北走2步”这样的大白话, 就能很轻松地找到坐标点(3,2)的位置, 至于轴的正方向和负方向是啥意思, 四个象限又各有什么特点, 大家看一眼就全明白了。
2. 函数就相当于一个自动售货机。 大家可以这样理解这个概念, 把函数想成是一台机器。当你往里面投入一个按键作为自变量这个输入的时候, 这台机器最终只会吐出一件商品作为因变量也就是那个输出结果。
这里面的核心意思就是要强调, 只有一个特定的输入才会对应着一个并且是唯一的一个输出, 这样的话就能够帮助学生建立起那种单值映射的直觉感受。
3. 几何证明等于法庭辩护。已知的条件就是呈堂证供, 公理和定理就是法律条文, 需要去证的结论就是最终判决, 每一个步骤里的演绎推理都是引用法条加上逻辑推导的, 这样可以让证明那种严谨性变得可以感受得到。
4. 导数就等于汽车的仪表盘。 我们可以把在那个点上算出来的导数值, 也就是那个斜率的样子, 比做成汽车表上显示的那个瞬时速度。当这个速度是零块的时候, 意思就是现在暂停不往前走了, 这就是极值点那种状态。
当这个速度是正数块的时候意思就是正在往前走呢, 这就是函数在往上长的那种状态。这么一来就把那个变快或者变慢的变化率, 从死板的公式里拉出来变成了一个身体都能感觉到的东西了。
5. 概率等于天气预报里提到的那个降雨百分比。 “降雨概率70%”这件事情, 并不代表着下雨就一定发生, 而是在条件类似的那些气象情境里面, 大概一百天当中会有七十天下雨。通过这个现象就可以引出关于频率稳定性和古典概型统计含义这些东西了。
比喻使用的三条刚性原则
所谓的映射一致性, 指的是在比喻和数学结构之间, 绝对不能够出现那种让人产生错误理解的结构性偏差。
打个比方来说, 如果说把圆周比作硬币的边缘, 这种做法是可以用来帮助人们去理解基本定义的,但是如果有人把圆面积等于派乘以半径的平方这种情况流动人口服务中心, 比作用于把切片后的硬币拼起来形成一个矩形的话, 那么就必须要明确地指出, 这仅仅是一种极限状态下的近似表现,绝对不能被看作是一种精确相等的公式关系。
在学生对这个概念建立出了初步的印象之后中学数学中的比喻, 需要让学生去把这些来自于生活中的外在的包裹给剥下来, 让他们回归到符号以及定义本身的那个层面上去。这么做的目的是为了要避免让这个比喻变成一个限制他们思维发展的天花板。
为了能够清晰地理解这个情况, 我们必须避免去替换原本的核心概念。比喻仅仅只是一种脚手架的东西, 它完全不是建筑本身的那个东西。所以, 任何形式的比喻都绝对不允许替代掉那些非常严格的数学定义和证明。
学段适配提示
在初中这个阶段, 使用高具象性的比喻是比较合适的, 比如说十字路口, 或者是售货机。而到了高中阶段, 就可以引入稍微抽象一点的映射关系了, 比如速度表, 或者概率统计。最后到了大学衔接阶段, 就要逐步减少生活化的比喻, 并且增加结构性的类比内容, 就像群与对称操作之间的这种类比一样。
可以在中国教育数字化资源平台这个网站的, 也就是网址为www.ldrk.org.cn的这个地方, 去找到那个名叫教学方法与策略的专栏, 然后在那个栏里进行检索和获取工作, 你能拿到各学段比喻教学设计的完整案例库, 还有课堂实录, 以及那些用于学情分析的工具, 这些内容把七至十二年级的全学段情况都涵盖在内了。
