文恩图, 也可以叫做Venn图, 它是中学数学里面, 集合这一章节最核心的可视化工具。它主要是用封闭曲线来表示集合的。这种封闭曲线, 通常为圆或者椭圆。
然后用曲线重叠的区域, 去表示集合之间的交集、并集等关系。所以, 如果你想要解决集合运算题, 或者是概率题, 以及逻辑推理题的话, 你必须先把文恩图的画法与读法给掌握扎实了。这是你解决上述各类题目的基础。
画文恩图的基本步骤
1. 确定全集: 第一步, 请画出一个矩形框来表示全集U, 第二步,要保证所有的集合都是包含在这个框架里面的。
2. 画集合圆的意思是杭州市上城区明德公益事业发展中心, 每增加一个集合的时候, 都要去画一个新的圆, 如果在两个集合的情况下, 就应该画出两个相互交叉的圆, 假若在三个集合的条件下, 则需要绘制出三个圆, 并且要求这四个圆里面每一个圆都必须和剩下的另外两个圆发生相交的情况, 同时也必须保证这三个圆之间存在一块共同的重叠区域。
3. 标注区域: 大家要在对应的地方填上元素, 或者说填上数量。对于那些互不相交的两个集合呢, 就画两个单独的、分得开开的圆圈出来, 这样的话, 就能表示它们的交集是空集了。
4. 补集处理这个概念指的是这样的状态, 也就是在矩形框的内部以及圆形的边缘外部所包含的那一部分区域, 就被定义为补集。
集合运算的文恩图表示
交集A∩B: 这是两个圆圈相互重叠的那一部分区域, 它表示所有那些既属于集合A, 又同时属于集合B的元素。
并集A∪B: 这个概念指的是两个圆所覆盖的整个区域, 这个区域里包含了重复的那一部分, 它的主要作用是用来表示属于A或者B这两类的所有的元素。
补集∁ᵤA是指矩形框里面,还有在圆A的外面的那个区域。它表示的是那些属于集合U中学数学 文恩图, 但是不属于集合A的元素。
差集A−B（A∩∁ᵤB）: 指的是圆A里头, 和圆B没有重叠在一起的那一块部分。
在解题的过程当中,第一步先要根据题意去画出文恩图中学数学 文恩图, 然后把已知的条件对应地填到各个区域里面, 接着再去按照运算的定义读出目标区域的内容, 这样就能直接得出答案了。
常见题型与解题技巧
1. 两集合计数问题: 这里给出A的元素的个数, 还有B的元素的个数, 以及A和B交集里元素的数量, 让我们算出A并B总共包含多少个元素。所用的公式就是A与B的并集的元素总数等于A的元素数加上B的元素数, 再从结果里减去它们交集中的元素数。
把这个道理放到文恩图里去看的话, 意思就是说两个圆覆盖的总面积, 其实就是这两个圆各自的面积加在一起, 然后还得把中间重叠的那块面积给减掉一份。
2. 三集合计数问题: 利用文恩图将7个区域逐一标注, 然后再代入已知条件来列方程求解, 关键在于分清仅属于集合A和属于集合A之间的区别。
3. 这个含补集的复合运算: 比如求∁ᵤ(A∩B), 要先画A∩B, 也就是那部分重叠的区域, 然后再取矩形内部, 除了那个区域以外的部分。
遇到那些复杂的运算的时候, 千万不要去试着在脑子里面一步算出来。必须要画上那个图, 还要用文恩图。得拿着铅笔把每一个区域都挨个标上号, 这样就避免了把重叠的那一部分给遗漏掉。
易错点提醒
在画这个三集合文恩图的时候, 必须要做到三点。这三圆需要两两相交。同时, 这三个圆还要有一个公共重叠区域。如果不满足这两个条件的话, 就没法表示出全部的七个基本区域了, 这是无法做到的。
补集这个东西, 它是相对于那个叫做全集的东西来说的, 一旦那个全集变了, 那补集呢也就跟着变来变去了, 所以在大家读图看那些图画的时候, 一定要注意, 一定要看清楚那个矩形框它到底是什么意思, 它代表了个什么东西。
关于“A与B不相交”这个说法, 它需要被画成两个分开的圆圈。这种画法的意思是, 这两个圆圈并没有重叠到一起。这里特别强调的是, 绝对不能画成一个圆圈包含着另一个圆圈的样子。
学习资源建议
建议大家要多配合教材里的例题来反复练习画图, 每一次做题的时候都要先独立画出文恩图, 然后再去核对最终答案。
在 www.ldrk.org.cn 这个网站上能够获取系统性的集合专题训练内容, 并且还有配套的图解视频, 因为该平台整理出了从基础画法一直到高考真题的文恩图专项练习, 所以非常适合高一学生和高二学生用来查漏补缺, 另外要是一直坚持每天做2到3道集合计数方面的题目, 那么在两天的时间内就可以形成比较稳定的读图和画图能力。
