中学数学的思想与方法, 其核心内容一共有七个部分, 它们分别是函数与方程思想数形结合思想分类讨论思想转化与化归思想特殊与一般思想类比与归纳思想以及模型思想针对这几种思想方法, 下文将逐一进行拆解, 并且对它们的定义以及常见的高频题型作详细的说明。
函数与方程思想
核心内容是把那些本来不属于函数范围的问题, 拿去运用函数的思维方法来进行处理, 或者是把那些原本不在方程范畴内的事项, 去套用方程的思路来加以解决。
这些是比较高频的考题类型, 第一类是给出了参数的具体范围, 需要你去求出最值, 这往往需要构建一个新的函数来求解；第二类是在处理几何问题的时候, 设立未知的量, 然后通过列方程来解决；第三类是把那些必须始终成立的不等式问题, 转化成求最值的问题。
关键的操作环节, 首先需要识别出变量之间的关系, 接着选择函数或者方程这类工具, 最后进行求解。
数形结合思想
核心的意思呢, 就是把那个数量之间的相互关系和那些几何图形给进行一个互相的转化。
高频出的题目类型, 包括在数轴上画图或者利用距离来解绝对值不等式, 还有看二次函数的图象跟x轴的交点在哪里，以及把圆的几何性质和代数方程互相推导。
在解决关键操作的问题时, 如果你遇到了代数方面的问题, 那么你先画个图。要是碰到了几何题目, 那你先得建一个坐标系。
分类讨论思想
核心的做法, 就是当条件不清晰或者结论不止一个的时候去把具体的情况进行划分然后按照既定的标准, 把每一种情形都分别拿出来, 一个一个地进行求解和处理。
那些经常考到的题型里面, 包括有参数的不等式, 这个要把参数分成正数、负数和零这三种不同的情况来分类讨论。然后还有带绝对值的方程, 再一个是几何里的动点轨迹问题, 这个问题要分不同的位置来进行讨论。
关键的操作步骤应当是先去寻找所谓的“不确定因素”, 接下来需要确定好分类的标准, 然后对每一个类别分别进行求解, 最后再把得出的结论合并到一起。
转化与化归思想
其核取意旨在于, 要努力地把那些原本陌生的问题去改变成为已知的类型, 同时, 还要想方设法将那些本身非常复杂的大问题去简化为简单的情况。
这些是那些出现频率很高的题目类型。比如要把高次的方程进行降次处理。比如要把立体几何的问题转化成平面几何的问题。又比如有时候需要把一些实际生活中的问题转化成数学模型来处理。
具体的关键操作就是, 你要去弄明白那个目标形态到底是什么样子, 然后去寻找和它等价的变形情况, 等到把所有的转化步骤都全部完成了之后, 再进行最后一步的求解工作。
特殊与一般思想
核心: 从特殊情况发现规律, 推广到一般情形；或用一般结论解决特殊问题。
高频题型包括选择题取特殊值验证这一种情况, 还包括等差等比数列先猜后证这一种情况, 以及几何命题先画特殊图形找结论这一种情况。
关键的操作就是, 先处理特殊的情况, 然后再去猜想普遍规律, 接着进行一般的证明, 最后再把结果代回去验证是否正确。
类比与归纳思想
其核心在于, 利用那些结构相似的元素来进行类比推理, 或者从多个具体的个别例子中总结得出一个普遍的结论。
常见的高频率考题类型包括, 比如对平面几何与立体几何的性质进行类比分析, 又或者是对数列通项公式进行归纳总结, 还可以是从n等于一、二、三这些特殊的具体数值入手去猜测背后隐藏的规律。
关键在于要找到结构之间的相似性, 接着要去提出一些猜想, 最后必须进行严格的证明。
模型思想
核心就是把那些在实际生活中遇到的具体情况, 进行一种抽象化处理, 把它们变成数学模型, 比如说什么方程啊函数啊数列啊统计等等这种形式, 然后求解完毕之后呢, 再让结果回到实际当中去。
常见且出现频率很高的题目类型包括: 利用二次函数来求解利润最大化的问题；使用等比数列来计算人口增长的情况；以及运用线性规划对相关方案进行比较和分析。
关键操作, 首先是进行变量提取, 接着建立模型, 然后再求解, 最后检验其是否符合实际情况的合理性。
考试应用建议
在进行审题工作的时候, 首先要做出判断, 这个题目所涉及的内容对应于哪一种思想方法, 然后再去选择合适的工具来应对。一道综合性的题目, 往往同时用上了两种到三种的思想, 比如说数形结合加上分类讨论, 这种情况下, 大家千万不要去追求仅仅只用一种方法去做题。
在日常训练的过程之中, 建议每一道题目做完以后, 都要标注清楚其所用到的思想方法, 通过这样一步一步的积累, 最终形成属于自己的方法工具箱。
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