现代数学和中学数学并不是简单的“高深”与“基础”的对立关系, 而是同一个知识体系, 在不同的认知阶段呈现出来的不同样子。集合论、线性代数、概率统计、图论这些现代数学分支, 已经依据现行的课程标准进入到了中学课堂里面去, 它们已经成为了培养学生逻辑思维和数学建模能力的核心工具。
这两者之间的衔接工作, 并不是简单地把大学里的内容强行降低难度进行处理, 而是要根据事物发展的认知规律来一步一步地展开, 一层一层地进行递进式的深入。
现代数学进入中学的具体内容
根据目前实施的义务教育和高中阶段的数学课程标准的相关规定, 下面的这些内容项目都已经非常明确地并且正式地被纳入了中学学校的整个教学体系之内, 这是确定无疑的事实。
集合与形式逻辑这个内容包含了像集合运算、充要条件、全称与存在量词这样的各种概念, 这些概念从初中一直出现到高中, 它们的作用是为大学里学习形式化的数学打好基础, 同时也为大学的形式化数学奠定了语言上的基础。
线性代数基础: 高中阶段, 会在“平面向量与复数”这一章节里, 对矩阵运算、向量以及它们之间的线性关系进行系统呈现, 这样做能够涵盖向量空间最核心的结构性质。
概率与统计: 那些属于现代概率论基本框架里的内容, 比如频率分布, 还有条件概率, 亦或是离散型随机变量及其分布方面的概念, 在高中阶段的概率与统计模块里头, 都已经在整体上被涵盖到了, 不存在遗漏的这种情况。
图论与组合: 排列组合这个领域还有简单图着色以及求解最短路径之类的这些个问题, 它们都会出现在那个所谓的选学模块里面去, 这样的一种安排方式,就能够在这个过程和那些竞赛数学知识之间形成一个那种互相衔接的效果出来。
函数就是极限那个思想现代数学与中学数学, 那个极限的概念, 它虽然不需要你用εδ去搞什么严格的那一种证明, 但是它那个想法、那种方法, 它早就渗透进那个导数里面了, 也渗透进那个微积分的预备内容当中去了, 就是这些个东西里。
两者的核心关系与衔接逻辑
这个衔接的过程, 是遵循了一个从具体到抽象再到形式化这样的认知路径的。它体现在了三个层次。
1. 概念层次: 在中学阶段, 教学更侧重于具体的运算以及几何直观能力, 而到了大学阶段, 教学重点则转向了公理化的定义与抽象代数结构的相关内容。关于中学里的向量概念其实际含义是由坐标组配对加上相应的运算规则构成的, 而大学里提到的向量空间概念则是指满足那八条既定公理的一个抽象集合。
2. 方法层次这一情况表现为,在中学校园里面流动人口服务中心, 主要是以计算能力、对模式的识别工作以及归纳总结这些方面为重心所在的。而到了大学这个学习阶段呢, 其核心内容则转变为了基于逻辑的推演过程、具有建造性质的证明任务还有利用反例来进行相关问题分析的手段。
3. 目标层次: 中学要培养出会用的能力, 大学要培养出理解为什么成立的能力, 还要培养出能够向更一般情形推广的能力。
衔接的一个关键所在, 是我们在中学阶段, 必须保留足够的概念上的弹性。我们要让学生去感受到。学生所感受到的中学定义, 是大学中更为一般化的定义的一个特例。这个特例的存在, 绝不是为了成为一个孤立的规则而存在。
教学实践中的对接策略
在引入新概念的时候, 要先拿出中学里那些具体的例子给学生们看, 然后慢慢地、一步一步地把那些抽象的一般定义提炼出来, 千万不要直接用那种一下子就能到位的形式化方式去做。
在概率统计教学的环节当中, 需要把经验频率还有理论概率这两者之间的区别给明确区分开, 这样做就是为了让大学里涉及到的那个概率空间这个概念, 也就是由Ω、F、P组成的那个集合,能够给大家预留出一个可以用来认知和理解的空间接口。
在有关线性代数的部分现代数学与中学数学, 重点并不是那些单纯的计算工作, 而是强调一种结构的概念, 这样做是为了引导学生去理解向量空间具有一般性质的特点, 以及弄清楚基底和维数到底代表着什么样的意义。
我们要拿出动态几何软件这些东西, 再加上数值计算工具这些东西。然后就用这些来搭建一个东西。这个家伙是过渡桥梁。它连接着中学直观感知和大学严格论证这两头。
高频问题解答
"中学数学是不是现代数学的简化版" 它并不是一个简化的版本, 而是从特定的视角出发的结构化呈现。在中学阶段, 教学会突出运算的部分以及直观的感受, 而在大学期间, 重点则会转移到公理体系以及一般性的规律之上。两者之间的侧重点存在着不同, 但是逻辑关系是一致的。
关于高中毕业之后是不是必须去补修大学里的数学课这个问题, 答案是不需要去进行那种系统性的加练或者重修, 不过呢, 还是建议大家能提前去把那些跟数学有关的集合方面的描述语言, 还有那些基础的逻辑推导中所用的符号, 再或者是比较简单一些的那些矩阵计算的基本操作, 都提前熟悉那么一下, 这样子的话, 等到真正走进大学校园去适应那个全新的学习与生活环境的时候, 肯定能够缩短自己那个需要慢慢磨合的过程, 从而更快地进入状态。
很多人会问一下, 那个竞赛里的数学内容和学校里课堂上的现代数学内容到底是不是冲突的。它们之间是不存在冲突的情况的。竞赛本质上就是课内内容的深化以及拓展, 他们的思维逻辑是完全相同的, 主要区别只在于深度的深浅还有广度的宽窄不同。
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