比例变形这个东西, 是初中数学里面关于“比例”这一章的核心难点部位, 同时也是中考数学试卷中那些结合了函数和几何知识的综合题型经常出现的一个考察点, 属于高频考点类型, 大多数学生在面对这部分内容的时候会被卡住, 被难住, 这主要原因并不是因为题目的难度超出了课程大纲所规定的范围, 而是学生们对于合比性质、分比性质以及等比性质这三类特定性质的适用边界在哪里, 还有这些性质在进行变形时的方向应该怎么确定, 掌握得还不够熟练, 不够精通, 下面的这些具体内容, 会把核心结论有哪些, 典型容易出错的地方在哪里, 以及怎样进行高效训练的方法都一次性讲解清楚, 目的是为了帮助学生在中考考试正式开始之前, 把这一整个知识模块彻底地理解透彻。
一、关于这三类核心性质, 咱们就直接把结论给记下来吧。
1. 关于合比这个性质, 如果a除以b的结果是等于c除以d的, 那么a加上b以后, 再除以b, 其结果就会等于c加上d之后的和, 再除以d。
在适用场景这方面, 假如题目里面出现了某个东西与另一个东西的总和, 再去和那个另一个东西进行比较这样的表述的时候, 大家可以直接就把数值给代入进去进行计算。
举一个具体的例子, 如果已知 a 除以 b 等于 3 除以 5, 现在让大家去求解 a 加上 b 的和再除以 b 的结果是多少, 那么就可以直接把数字放进公式里面去算, 最后直接就能得到 (3 + 5) 除以 5 的结果就是 8/5。
2. 关于分比性质, 如果存在一种情况, 其中的a除以b的结果是等于c除以d的结果的, 那么可以推出一个结论, 也就是说, a减去b之后的差再除以b, 其结果一定是等于 c减去d之后的差再除以d 的。
请注意, 在a < b这个前提条件成立的情况下, (a−b)这个计算结果属于负数范畴, 因此得到的最终数值也是负的, 在这种情况下我们绝对不可以把正数情形下的结论直接拿来使用。
为了帮助理解我们可以参考这样一个具体示例, 假设有a/b = 2/5这一已知等式存在那么就可以推导出(a−b)/b = −3/5这个相应关系。
3. 如果a除以b等于c除以d还等于e除以d结果都是一个叫k的常数, 并且同时满足分母部分b加上d再加f的结果不是零的话, 那么这时候分子部分的a加上c再加上e的和来除以分母部分的b加上d再加上f的和, 其计算结果依然会等于那个k。
这是中考中压轴题最常采用的形式, 此类题目往往还会与“平行线分线段成比例定理”, 抑或是“相似三角形”的相关知识进行联合考查。
二、三个高频易错点
（1）使用等比性质存在必要的前提条件, 这个前提条件是必须保证 b 加 d 加 f 不等于 0。如果分母之和正好等于零的情况出现了, 那么上述性质就是不成立的, 这种情况下需要单独进行讨论。在最近几年的中考数学选择题里面, 出题老师比较喜欢利用这样一个设置陷阱选项的手段来考察学生的能力。
（2）需要关注分比结果里的那个符号问题。在把具体的数值代进公式之前, 务必要先去判断a和b这两个数字之间的大小关系是怎么样的。如果算出来是a大于b的情况下那么整个结果就应当是正号的这一种情况。
反之呢如果判断出来是a小于b的时候那么整个结果就要写成负号的样子了。一旦你把正号和负号给取错了的话那就会导致整道题直接失去全部分的分数。
（3）在几何这块内容里, 所谓的对应关系, 指的是关于比例线段的那些事情。这个事儿, 你得先把那个对边给标清楚了, 然后再把那个邻边也给标清楚了, 最后再拿这两个东西去列那个等式。你要是把那个对应关系搞反了的话, 那就是在做几何的综合试题的时候, 最最常见, 也是最容易丢那个分的一个点。
三、每日训练方法
建议大家每一天抽出10分钟的时间来做一组属于比例变形的专项训练部分, 这部分的训练内容需要分为三个不同的步骤去一步步完成。
进行第一步操作, 具体是给定了a除以b等于c除以d这数学等式关系, 需要限时为3秒钟这个时间要求去写出合比式与分比式这两种算式形式, 这样做来训练条件反射这种学习本能反应能力。
在进行第二步的操作之时, 你需要结合那个被称为平行线分线段的模型, 并且去练习两道题目, 其中特别重要的一个环节是去套用等比性质这一个方法。
按照第三步的操作要求, 利用“相似三角形”这一种模型来进行两道具体的练习题的求解工作, 把核心的练习重点放在对比例线段之间对应关系的掌握上面。
只要你坚持两周的时间, 那么你所关注的变形速度方面，以及关于准确率的指标方面, 都将会呈现出会有明显的提升这样一种状态。
四、中考题型提示
在近些年的中考考题里, 有关比例变形的内容多数都是出现在第十八题到第二十二题左右的区间中, 这部分题目的主题往往集中在函数与几何知识的综合应用上, 而且经常和一次函数的图像以及二次函数的图像相交的情况结合在一起进行出题设置。
所以在准备考试的时候, 我建议你们可以把对比例变形的掌握、关于平行线的知识点以及如何证明相似三角形这三方面的内容放到一起结合起来复习, 这样的复习方法相比那些单独地去记忆枯燥公式的做法, 其效率会变得更加高一些。
你可以见到更多分层练习, 还可以见到中考真题详解, 还能够见到专题讲解, 这些都可以参见“中考数学比例与函数”专题, 这个专题网址是 www.ldrk.org.cn。
