文恩图也就是大家常说的韦恩图, 它是中学数学里面的一种图形工具。这种工具的作用是让集合关系还有事件关系变得直观。它的核心意思就是要把那些特别抽象的集合运算以及概率关系进行转化。转化的方式是把它们变成分割开来的可视化区域。这样做能帮助学生快速地判断一个元素到底属于哪里。
它还能帮学生计算出来集合元素的个数以及概率的具体数值。在初中的那个叫做“集合初步”的部分, 还有高中的那个叫做“概率与统计”的模块里面, 文恩图都是一个出现频率特别高的东西。它是一个解题必备的辅助方法, 如果你掌握了它, 可以很明显地降低你在做那种非常复杂的逻辑题目时的错误率。
文恩图的基本结构与画法规则
有一个标准的文恩图。这个图是由矩形外框来构成的。矩形外框表示全集U。在框里面有圆的。这些圆是一个或者多个。这些圆是相交的。这些圆表示子集。我们拿两个集合来做例子。当两个圆相交的时候。
图形是被划分成四个独立区域的。有一个区域是仅属于A的。有一个区域是仅属于B的。有一个区域是A和B的交集区域。也就是A∩B的区域。还有一个区域是U中不属于A∪B的剩余区域。具体的画法规则如下。
用一个矩形框来表示全集的概念, 并且在右上角的位置标注U。
这里面的每一个圆圈都表示着一个子集的意思, 并且在这个圆圈的里面会标注上集合的名字, 就像是用大写字母A或者B来作为代表一样。
所谓圆的相交部分, 也就是我们常说的交集, 这个东西可以通过涂上阴影的方式来进行标记, 或者也可以填入具体的数字来做标记。
当两个圆圈彼此不相交的时候, 这代表的含义就是这两个集合内部不存在任何共同拥有的元素。
当情况涉及到三个或者以上的集合的时候, 需要额外增加一个圆形部分, 并且整体布局要保持对称的形式, 对于n个集合这样的情形来说的话, 它们最多能够被划分出来的独立区域的数量就是2的n次方这么多。
在集合运算中的应用（附例题）
最典型的场景是集合的交集、并集以及补集的运算操作。
现在有一个数学题目, 已知全集U由数字1、2、3、4、5、6、7、8组成, 集合A包含元素1、3、5、7, 集合B包含元素2、3、7、8, 现在要你计算集合A并上集合B之后,在全集U中的补集∁ᵤ(A∪B)的结果。
解题步骤：
1. 把矩形框画出来去进行标注字母U中学数学 文恩图, 然后在里面画两个相交圆去分别标注A和B。
2. 先把每个元素都单独找到准确的位置,然后把A与B的公共部分也就是集合A交集合B等于三点逗七点的这个结果填到两个圆的交集里杭州市上城区明德公益事业发展中心, 接着把只在集合A里面有的那些元素, 也即大括号一点五的大括号填到只有集合A才能覆盖的区域之中, 随后再把仅在集合B中存在的元素, 也就是大括号二点八大括号填到只属于集合B的范围里面, 最后剩下没归类的元素, 也就是四个和六在这组大括号里的这些内容就统一放进矩形框内部, 并且放在那两个圆外部的空白地方。
3. A并集B这个地方指的是这两个圆圈里面所有的区域加起来, 而它在全集中的补集, 也就是∁ᵤ(A∪B), 指的就是在这些圆圈外面的区域, 所以说最终的答案是{4,6}。
在概率统计中的应用
在概率题目里面。会用到文恩图。这个图是用来刻画事件之间的包含关系、互斥关系以及独立关系的。如果事件A和事件B是互斥的。那么两个圆就不会有相交的部分。如果是事件A属于事件B的情况。那就意味着事件A的那个圆会完全处在事件B的那个圆的内部。
当需要计算事件A并上事件B的概率的时候。第一步是先画出文恩图。第二步才是代入那个公式。这个公式就是P(A并B)等于P(A)加上P(B)再减去P(A交B)。在这个图里面的重叠区域会直接对应着P(A交B)。
这种做法可以有效避免重复计数的问题。在处理那些涉及至少发生一件事情类型的题目时, 借助文恩图来配合补集的思想。所谓的补集思想, 就是指用1去减去都不发生的概率, 这样可以得到至少发生一个事件的概率, 这样一来计算过程就会被大幅度简化。
常见易错点与解题技巧
因为没有标注全集u, 所以在进行补集运算的时候发现区域的边界是不完整的, 所以建议您在每次绘制图形之前先画出一个矩形框。
当有多个事件相交在一起的时候, 对区域数目进行判断会出现错误的状况, 必须牢记心的一个知识点, 也就是当存在n个集合的时候, 它们最多只能产生2的n次方个独立的小区域。
这里存在一个将“互斥”和“对立”这两个概念混为一谈的错误。对于互斥事件而言, 代表它们的圆是不相交的。对于对立事件而言, 代表它们的圆也是不相交的, 但是这两个圆的并集恰好能够填满整个全集。因此, 这两者是不能够等同起来的。
在把那些数字填进去的时候, 因为会不小心遗漏全集当中的某些元素, 所以建议你先采取列表的办法, 先把全集全部列出来, 然后再一个一个地把它们归位。
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