数学归纳法, 这个在中文里叫 math 的方法, 它是用来证明那些跟正整数 n 有关的那些题目的一种最主要的办法, 也是那套叫做中学数学专题丛书第11册的书里的一个特别重要的部分。大家去理解它的那个深层逻辑的时候, 可以把它想成是一排放得直直的多米诺骨牌。
你先要让第一张牌倒下去, 这就是说你要先去验证当 n 等于 1 的时候, 那个说法是成立的。然后呢, 你还得去证明一件事情, 就是只要有一张牌倒下去了, 它就肯定会把紧接着在后面那张牌也给推倒掉, 这意思就是说从 n 等于 k 的这种情况, 能够推到 n 等于 k+1 的那种情况也成立。
如果这两步你都做到了, 那所有的那些骨头牌子就都会一个一个地全部倒下去。这就意味着这个命题对于这个数列表里面的所有的正整数来说, 全都是没问题的, 全都成立的。
数学归纳法的完整证明步骤
标准证明被分成了两大步骤, 这里一共包含了五个操作节点:
第一步：基础验证（n=1）
把数值一给带进去, 然后直接去算一下或者化简一下, 看看最后的结论是不是对的, 如果能对的话, 那就能说明这个结论是成立的, 这就好比是在做那个推倒第一张骨牌的事情。
第二步：归纳递推（n=k → n=k+1）
1. 我们在这里要假设当数值n等于那个字母k的时候, 这个具体的命题是成立的, 这就是所谓的归纳阶段的假设内容。
2. 利用这个假设, 通过变形代数式、对等式的两边进行加减这样的办法, 把结论推导出来, 证明出当n等于k加1那个时候, 命题也成立。
3. 在变形过程当中, 咱们是必须得把“当n等k的时候这个结论是成立的”这一步假设给用出来的。如果不把这假设用上, 那后面的推理逻辑可就站不住脚了, 完全就不成立了。
第三步：结论收束
根据数学归纳法原理, 由第一步和第二步可知, 命题对所有属于正整数集的n成立。
经典例题演示
我们要去证明那个由一加上二再加上三一直到n这样一个加法算式, 它所得到的结果, 正好就等于n乘以n加一之后除以二这样一个数值表达式, 并且这个等式, 对于所有一切都符合正整数定义的数字n来说, 都是成立的。
我们对n等于1这个情况来验一下, 左边算出来的结果是1, 右边的结果呢是1乘以2再除以2, 得到的也是1, 所以说这一条成立。
我们假设n=k这一情况成立, 此时1加上2再加到k的和结果等于k乘以k加1然后除以2这个数值。
推n=k+1：左边=1+2+…+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k/2+1) = (k+1)(k+2)/2 = 右边。
我们最后得出的一个结果是, 这个命题在对于所有的正整数n来说, 全部都是能够成立的。
高频易错点
适用场景与拓展
数学归纳法这种办法, 是可以拿来用得, 用它的场合, 包括对求和公式去进行证明, 还有对不等式去进行证明, 比如大家所知道的, 像一加上X的N次方, 这个大于或者等于一加NX的这种情况, 它也可以用, 另外就是整除性证明, 这个也行, 以及用递推关系去求出那个通项公式的时候, 也是适用的, 就是在咱们现在的高中学段里, 这种方法是经常被使用到的, 经常跟那些不等式放在一起用, 比如说会用到放缩法的那些场景山东浪曦信息科技有限公司，还有跟数列的通项结合起来用。
在《中学数学专题丛书（第11册）》当中, 是专门有关于这个方法的训练内容的, 这些内容包含三个层次难度的考验, 具体来说是有基础证明的, 有综合运用的, 还有竞赛拓展的, 建议大家按照先理解原理, 再看例题, 然后做变式练习, 最后进行综合应用的这种顺序来进行学习, 至于相关的配套练习题和详细讲解的资源, 可以参考www.ynsdxgs.cn这个网址, 里面是分章节准备了习题以及视频讲解的, 非常适合用来做系统性的复习。
一句话记忆口诀
我们先完成验证这一步保起点这个动作, 接着去假设并通过递推的方式去推动下一步, 等到第二步也齐备之后, 就可以归纳成一个结论了。
