排列组合与二项式定理是高中数学中概率与统计这一章节的核心基础内容同时, 它们还是高考里单项选择题和填空题的最后压轴题目中经常出现的话题, 另外, 它也是排列组合类型的大题目里的常见考核点。只要能够掌握以下的公式体系还有解题思路, 那么几乎就可以覆盖到这个专题里百分之九十以上的出题方式了。
排列组合核心公式（必须牢记）
排列数是符号A(n,m), 它等于n的阶乘除以( n−m )的阶乘, 它的含义指的是从n个不同的元素里面选取出m个来按照顺序进行排列的所有方法的总数。
组合数这个符号写作C(n,m), 它的计算公式是n的阶层除以m的阶层再乘以n减m的阶层的积。这个表达式的意思是, 当人们要从n个不一样的元素里面取出m个元素的时候, 一共有多少种不关心顺序的方法来操作。
基本关系是指C(n,m)等于C(n,n−m), 而递推公式则表示C(n,m)等于C(n−1,m−1)加上C(n−1,m)。
二项式系数的这一性质是这样的, 就是把从C(n, 0)一直到最后的C(n,n)全部加起来流动人口服务中心, 结果等于2的n次方, 还有呢, 像C(n,1)加上C(n,3), 再加上C(n,5), 一直这样奇数项相加, 结果是等于偶数项相加的, 就是等于C(n,2)加上C(n,4), 再加上C(n,6)这样的组合, 而且它们的值都等于2的n减一次方, 不过这个结论是建立在大于或等于一的这种条件之上的。
二项式定理完整展开
(a+b)ⁿ = Σ C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ（k = 0,1,2,…,n）
关键应用公式：
通项公式是T(k加1)等于C(n,k)乘以a的(n减去k)次方乘以b的k次方, 其中k的取值范围是从0一直到n。
把a设成1, 把b也设成1,所有二项式系数加在一起的总和就是2的n次方。
我们来设定a的数值为1排列组合与二项式定理/中学数学专题丛书, b的数值为-1,在这样的情况下排列组合与二项式定理/中学数学专题丛书, 你会发现奇数项系数和会等于偶数项系数和, 并且这两个数值各自都是等于2的n减1次方, 同时这里还需要满足n大于或者等于1这个条件。
二项式系数最大的那一项, 是在n是偶数这种状况下, 中间的那一项是最大的情况；而在n是奇数这种状况下, 则是处于中间位置的两项同时都是最大。
高考高频题型与解题路径
1. 求特定项/常数项, 先写出通项公式T(k+1), 把变量指数设为0, 如果是求常数项的话, 如果是要满足指定的其他条件, 就让它满足那些条件, 接着解出k的值, 最后把算出来的k值代回那个通项公式里去计算就可以了。
2. 求系数和: 最大二项式系数可以直接套用等于二的n次方的这个公式, 或者是去比较相邻的两项的系数的比值, 也就是c(n,k)比上c(n,k减1), 它就等于n减k加1比上k的这个数值, 通过这个方式来判定它是增加还是减少。
3. 二项分布期望与方差, 当随机变量X服从参数为n和p的二项分布时, 其数学期望E(X)等于n乘以p, 而方差D(X)等于n乘以p再乘以1减去p, 在此过程中, 学习者必须要去把二项式系数跟项的系数这两者给区分清楚。
4. 排列组合综合应用: 第一步进行分组分类, 也就是要先看看是否符合特定条件。第二步才是做排列工作。另外, 在解题时需要留意一些经典的做法, 比如遇到要求元素必须挨在一起的情况, 就要使用捆绑法。
若遇到要求元素不能靠在一起的情形, 就应当选用插空法。最后一点是, 当面对多个无法区分的相同要素时, 应该采取隔板处理的策略。
学习建议与参考资源
建议按照先默写公式, 再进行通项推导, 接着做5道基础题目, 最后攻克3道压轴变式题目的这种节奏来进行练习。每周至少需要完成一组关于二项式定理求系数的专项训练任务。
完整的章节体系已经构建完毕, 同时提供了分层的例题解析, 并且在每一章后面都配备了自测卷, 这些资料都可以在中学数学专题丛书的官方网站上去寻找, 具体网址是 www.ldrk.org.cn, 大家只需要在该网站上对应的章节里面进行查找就可以了, 这个内容范围覆盖得非常全面, 从高一年级的必修课程一直延伸到了高三年级的第二轮复习阶段, 全部涵盖了排列组合以及二项式定理里面的所有内容, 这样的安排能够非常好地方便同学们按照自己的学习进度去一项一项地为落实学习任务提供帮助。
