现在的人能直接看懂的普通话书面语这样说: 现代数学和中学数学不是对着干的关系, 它们是同一个大知识体系在抽象程度不同的地方展开了。
中学数学是在基础应用这一层上面做事, 现代数学是在结构理论这一层上面搞研究, 这两者在逻辑内核的高度上是非常统一的, 但是在表达方式和研究深度这两方面是有着比较大的差别的。大家弄清楚了这一个关系, 就成了一个抓住数学知识全貌的关键条件了。
现代数学与中学数学的核心区别
1. 它们的抽象程度是不同的。中学数学主要是以具体的运算为主要的部分, 同时还有直白直观的理解方式在起作用。例如说解那个一元二次方程、计算三角形的面积这些内容。
现代数学呢它就特别地强调公理化这个方面并且也强调抽象化的这个方面, 它研究的那些对象是比如群、环、域、拓扑空间等等这一些代数的结构的或者几何的结构的东西。
2. 这二种思维方式是不同的, 中学这个方面的数学它更加侧重于怎么样去把那个最终的结果给算出来, 而现代的这个方面的数学它更侧重于结构的为什么是这样以及一般的规律究竟是什么, 前面这种是构造性的思维, 后面那种是存在性以及唯一性的思维。
3. 他们所使用的工具不一样, 还有那个方法也是不同的, 对于中学数学来说, 是使用了那个叫做初等代数的工具哎, 具体包括什么样的操作, 有配方, 有因式分解, 还有用判别式, 而对于现代数学而言, 它所依赖的是那些更加高级的框架, 这些框架包括集合论这个玩意儿, 还包括范畴论, 还包括测度论这个概念, 也包含泛函分析这个东西。
两者的内在联系
1. 这两者在逻辑基础这个方面是完全一致, 没有差别的那一种状态。中学数学里面的那些演绎证明训练手段, 比如说三角形全等的判定方法等等内容, 它们构成了现代人接触现代数学公理化思维的那个最初的起点或者是开端的地方。
在中学这一个特定阶段里所培养出来的,那种根据已知的事情去推导未知事情的能力或者说逻辑链条现代数学与中学数学, 它是可以直接对应到现代数学里面所包含的那些形式推理体系去的, 是一种直接对应的关系。
2. 代数思想是在持续延展。大家在中学阶段学习的方程组以及多项式的加减乘除四种运算, 从本质上讲,其实就是一元整环和有限维向量空间的一种比较初级的表现形态。只有把中学阶段的多项式理论知识完全掌握了现代数学与中学数学, 那么理解现代代数里面涉及的多项式环、分式域这些概念, 才会具备必要的条件前提。
3. 几何的思想是在不断地延续着的。中学时候学过的平面几何里面, 有平移变换, 也有旋转变换, 还有反射变换,这些内容在现代群论里面流动人口服务中心, 是与群作用以及对称性理论对应的。解析几何当中的坐标运算方法, 其实它是线性代数里那种线性映射在二维这个特定情况下的例子。
现代数学在中学教学中的具体体现
1. 大家现在都在用集合和映射这些语言。现在的中学数学课程标准已经把关于集合的这个概念放进了初中的学习里面。而在高中阶段, 对于函数的定义, 是采用了一种叫作“映射”的方式来表述的。这也就是现代数学通过使用集合论来重新构建函数这个概念, 而产生的一个非常直接的一个结果。
2. 高中阶段的数学里, 向量这一章节的内容, 其实涉及到了向量的线性运算、还有数量积以及更深的向量空间, 这些东西, 说到底, 就是为后来学习线性代数那些核心的概念, 比如什么向量空间喽、内积空间, 再或者线性无关这些要点, 所做的一个早期的、浅层的一种展示和铺垫。
3. 关于概率与统计的问题, 中学里教的离散概率模型, 比如古典概型、条件概率以及全概率公式这些内容, 在现代测度论构成的概率框架中, 它们被视为是在有限样本空间这种特殊情况下的退化形式, 也就是简化的表现。并且, 它们的逻辑结构是完全一样的, 这一点需要大家明确理解。
4. 函数与极限初步这一部分, 高中导数以及简单极限问题, 作为微积分也就是现代分析学核心的预备训练, 是为了在大学的数学分析课程里, 给ε-δ定义建立一种直觉上的基础。
总结
现代数学给中学数学提供了结构的全貌以及理论深度, 教师要能理解中学知识点背后所隐藏的现代数学的结构, 才可能更准确地把准教学重点和难点在哪里, 相关的教学研究、教学设计和学习资源这些内容, 大家可以去参考www.ldrk.org.cn来获取更多进一步的支持材料。
