01核心结论
参考《义务教育数学课程标准（2022年版）》, 并且结合全国中小学数学教研实践达成的共识情况来看, 中学数学教学的 effectiveness 好不好, 关键要看课堂里是不是系统地做到了“理解”接着是“应用”最后达到“迁移”这层层目标。 下面要介绍的7种教学方法, 是经过一线教研工作验证过的, 这种覆盖范围包括了从做教学设计这个环节开始, 一直到课堂教学去实施, 然后又到了课后评价这样的所有过程步骤之内。这套方法是现在中学数学老师最需要掌握的方法体系。
02问题驱动式教学（Problem-Based Instruction）
课堂的主线就是那个核心的数学问题, 要把那种只是讲知识点的方式给改变, 变成从发现一些问题开始, 再去建立相应的数学模型, 做完求解动作并且进行验证的一个完整链条。
实操步骤：
1. 选题设计的做法是, 在每一节课里面, 必须设定一个核心问题, 而且这个问题的数量不能超过两个, 这些问题里一定要清楚地把数学结构表现出来, 要避免那种单纯的技能操作题目, 拿初中学的那类函数课程来做举例吧, 核心问题应当被设置成这样的一种表述, 也就是“如何利用这种函数的关系去推测某个城市在未来五年之内空气质量指数会发生怎样的改变”, 而不是被设置成类似于“要把下面给出的这些函数图像画出来”这样的任务。
2. 就是构建问题链, 具体的办法是围绕着那个核心问题去设计三个到五个子问题的数量范围, 让这些子问题呈现出一个由浅到深的过程, 而且这些子问题相互之间必须存在着逻辑上的依赖关系这也就意味着前一个问题得出的结论会变成后一个问题进行的起点。
3. 让学生用书面或者是口头的方式, 把解题的这个思路完整地说出来或是写出来。老师这里主要看的点, 是学生在思考过程中的具体那个“卡点”在哪里, 而不是说只看最后的答案到底是对还是错这一问题。
4. 在核心问题得到解决之后, 马上接着提出一个问题, 这个问题的特点是可以把里面的参数换个值, 或者把给定的条件换掉, 就比如问如果时间跨度改成了10年这个样子的话, 原先的那个结论还是不是站得住脚, 这一套做法是为了强制让人去学会把知识迁移应用一下。
这个情况可以用在不同的地方, 比如说是初中数学里的函数问题, 方程问题, 还有几何证明题, 再往后就是高中阶段的导数应用, 以及那个概率统计的建模工作。
要注意, 问题的难易程度应当吻合学生们通过努力所能达到的那个发展区间, 如果太难了, 会让孩子们产生挫败感, 如果只是很简单, 那就不会引发他们需要思考的认知冲突了, 所以建议用那种“百分之七十的学生付出辛苦努力之后都能够把题目给做出来”的这个标准作为参考。
03可视化与直观教学（Visual & Concrete Representation）
把那些抽象的数学对象变成人能够感知到的图形, 或者进行动态演示, 或者是使用实物操作, 这样做是为了降低人们的认知负荷。
实操要点：
核心原则在于, 所谓直观只是搭架子用的, 并不是最终的目标。在每一节课里, 一定要安排去掉直观支持的环节。当图形展示完之后, 学生们必须拿开图形, 只用汉字和数字符号去做同样的题目。这么做是为了防止大家对看见的提示起依赖性。
04分层教学与差异化设计（Differentiated Instruction）
就是在同一个课堂里面, 大家要盯着学生数学底子不一样的事儿, 然后弄出个分层的活儿来, 具体来说就是要把任务搞成三个级数, 哪几个级数, 一个是基础的等级, 一个是提高的等级, 还有一个是往外扩的等级, 这样做, 就是为了保准每一个学生都待在那个稍微努努力就能够得着的地儿, 这样一来大家才都能学到有点用的东西。
实施框架：
在开始上课前的那短短五分之十分钟的时间里开展诊断活动, 做法是拿出三道来由浅入深的练习题来做测验, 里面有两道题目是非常基础的题型, 还有一三道题是用来提高的, 通过这个操作手段去比较快地找到学生们现在掌握的底细有多深。
课中分组任务：
在基础这一层的阶段里面, 要完成对于那些核心概念的一些模仿性质的练习工作, 比如说要用配方法去解那个已经给定的方程。
提升难度层级的内容是, 去解决那些必须要经过两步推导才能弄明白的应用题事情, 比如说拿二次函数的知识来算出能拿到的最大利润是多少这样的一类问题。
拓展层是开放性这个问题或者是跨学科的建模任务, 比如要设计一个方案, 这个方案的目的是为了用不等式来处理约束关系并实现优化。
学生需要完成课后的弹性作业, 这种作业包括了由学生自主选择的一到两个题目来完成, 具体构成有学生必须做完的基础题、可选做好的提升题以及用来挑战的探究题。
大家要注意下面的事项。分层的标签内容是不对外公开的, 这是为了避免固化学生们对自己的那种自我认知。在每个月学期的开始阶段, 会对分组情况进行一次动态的调整。这个动态调整的过程里面, 是允许学生自己去申请升级的。
05合作学习与小组探究（Collaborative Inquiry）
把三到四个人组成一个异质小组, 作为一个单位。大家通过结构化的方式展开讨论。这样就能够完成任务。这是单一学生自己很难独立解决的数学探究任务。
有效操作条件（缺一不可）：
1. 任务设计这一点, 必须是由多方的协作才能共同完成的一种开放的任務, 绝对不能是大家看起来像一个人在那单独地做, 而其余所有的人都在旁边只是单纯地在旁观。那种典型的情况是像什么样的呢? 比如说, 几个组员聚集在一起去构思一个详细的方案, 最终的目标是用非常有限的步骤成功地去证明某一个特定的几何结论。
2. 小组要分工, 每组得安排一个管记录的, 再定一个去上面说话的, 还有一个专门搞质询的, 以及把控时间的, 这些任务每节课堂都要轮着来。
3. 结构化交流这种方式, 通常会采用“Think-Pair-Share”模式, 或者是被称为拼图法的“Jigsaw”模式。目的是要确保每一个人都先进行独立的思考, 然后再去开始交流讨论, 以此来避免出现搭便车的情况。
4. 在成果外化这一环节方面, 研究团队或者学习小组必须要把能够进行评价的、或者是书面的、又或者是口头的具体产出做出来, 比如要拿出一份具体的证明, 或者说出一个模型解释出来这样的东西, 而教师, 是需要依据这种结果来给予某种反馈意见的。
适用的年级是初三, 以及高中阶段, 在这两个阶段效果会更显著, 对于初一学生来说, 应该以所谓的“思考结对分享”作为起步的形式。
06情境化教学（Contextualized Learning）
核心要点是将数学知识嵌入真实生活或者社会或者科学情境之中, 这样能够使得学生能够理解为什么要去学习以及能够在哪里使用。
设计标准（三要素）：
真实性这一块, 它的情境来源, 得是那个真实的数据或者是真实的 problems 啊什么的, 打个比方说, 像那种用来讲讲分段函数的话, 可以用一下本地的地铁票价的变化情况；再或者像是用那个校园食堂营业额的数据, 可以用来讲讲统计的内容之类的, 这些都是可以的。
数学内容的份量一定要足, 具体的场景必须强迫学生使用本节课最核心的数学知识才可以把它解开, 坚决要杜绝那种看起来像装饰, 而把数学计算却生硬地贴上去的错误做法。
所谓的可验证性这个情况, 就是说你的解题结果必须要有现实中的东西来作为对照, 比如说你把最优方案算出来以后, 去把这些结果和现实里面正在发生的经营数据进行对比, 最后还要把这个过程形成一个闭环才行的。
这里存在一个被标为反面典型的具体案例, 其内容是“小明有5个苹果分给3个人”, 这个案例属于一种虚构的情境, 其中缺乏真实的数据支持, 没有符合现实情况的限制条件, 也不包含任何验证环节, 因此并不建议大家去采用这种方式或参照这种模式进行其他相关操作。
07反思性练习与元认知培养（Reflective Practice & Metacognition）
核心要点是引导学生不仅要做题, 还要看清楚自己是怎么做的, 以此来建立对思维过程的自我监控能力。
课堂嵌入方式：
这个环节叫做错因归类, 放在每节课结束后的那三分钟里面去做, 让学生自己在本节课的学习过程里, 挑出一个对他来说最有参考价值的犯错情形, 然后用简短的一个语句把这个事儿给交代清楚, 也就是具体说明他是在哪一个操作步骤上搞错了, 分析清楚导致这个失误的根本原因到底在哪里了, 最后还要写明他在接下来的学习或者考试过程中要采取什么样的办法来防止此类错误的再度发生。
这道解题策略日志任务是每周写一次, 字数限在一百字内。你要写清楚自己做过哪些尝试, 然后解释为什么最后选了这条道。同时也得考虑一下还有没有比这就更好的办法。
这个同伴互评活动每月举行一次。大家会交换练习册。然后用红笔在对方的作业上面做标注。要找出并且标示出思路清晰的地方, 还有那些思路跳跃的地方。这样做是为了培养大家在阅读和评估时那种带有批判性的审视能力。
教师这个角色是不能直接替学生去做总结的, 而是要通过提问题来进行引导, 比如可能会问这样一些具体的内容, 像说你在当时的情况下为什么会首先联想到去使用公式法而不是图解法这种提问, 又或者会继续追问如果以后的数据发生了变化的话, 你原先所选择用的那个方法是不是依然还能够继续适用。
08技术融合与数字化教学（Technology-Integrated Instruction）
需要把数字工具看作是认知的放大器, 而不是用来替代人的手段, 这样才能让数学探索的广度得到提高, 精度也能同时提升。
推荐工具与使用场景：
所谓的融合原则, 就是说技术得用来干纸笔没法干的活儿, 比方说可以快速改一下参数看看变化情况, 或者去处理一大堆像几百组这么庞杂的数据之类的事情, 绝对不能拿它来把那种基础的运算训练给代替了, 每一堂课里面使用数字工具的时长建议都得限制在十五分钟以下这样子, 毕竟那些核心的推导环节还得靠咱们用纸笔来完成才行。
09全流程实施建议
1. 在设计方案的时候, 要把教学目标放在首要位置, 紧接着去选用教学方法, 这里要注意的是一下子不要只用一种办法, 而是要把上面提到的那7种方法进行合理的组合运用。 然后就是根据不同情况给任务做分层。再之后是把评价的内容穿插进去。最后还要有反思这一个步骤, 经过这样一个过程的排列组合, 就能构成一个完整的回路。
2. 这里有一个方法组合的示例, 其具体的使用场景是在高中导数课程当中。这一堂课程的总时长被设定为90分钟。
在开始后的零分钟到十分钟这段期间里头, 把情境导入这个活儿先给干了, 这时候弄个真凭实据的数据变化率问题摆那儿, 接着就走情境化教学这一路子去弄。
用大约十分到三十分钟的时间来开展活动, 把函数的变化率通过动态展示的方式呈现出来, 接着引申到极限的概念, 然后再讲到导数的定义, 整个过程属于那种注重利用视觉工具辅助授课的教学模式。
时间控制在三十到五十五分钟这一段, 开展分层次的练习活动, 其中包含了基础的求导方法、带有参数的讨论以及拓展性的不等式证明内容, 以此来实施分层教学的策略。
在55到75这一阶段, 安排小组进行探究, 探究的主题是导数为零的充分条件。整个流程结合了合作学习到问题驱动。
花费75至85分钟时间来进行反思性质的总结, 让学生在纸上写下诸如“我今天遇到的思维阻碍”这类内容, 这就属于元认知的范畴。
在85分钟到90分钟这个时间段里, 会进行一次线上的即时测评。在这次测评过程中, 老师能够拿到全班同学们对知识点的掌握情况的数据。”。
3. 对评价的一致性进行评估, 确保每一堂课的练习内容在考试题型结构上与最终考核完全对接, 其中概念理解占据40%的比例, 应用推理同样占据40%, 开放探究则占据20%, 这一安排旨在彻底消除教学与考试之间出现的脱节现象。
10常见疑难与对策
如果学生表现出抵触探究的心态, 只是一味地渴望通过大量的刷题来提高成绩, 教师该怎么办呢? 在初期阶段, 可以把探究问题的难度大做一些调整, 降低一些门槛, 从那些有明确答案或者说是半开放的题目起步做起。 接着逐步过渡到那些真正具有开放性的学习任务中去。同时要保持基础训练不能断掉, 这样做可以给学生们一种心理上的安全感, 从而减轻他们对新学习方式的排斥感。
因为课堂教学的时间非常紧凑, 所以想把七种方法全部都用到课堂上是非常困难的。其实不需要在每一节课文的教学过程中把所有的方法都实施完毕。您可以选择在每两三次周的时间里, 专注于深入渗透其中的一种方法。 至于剩下的那些方法, 则以一种比较轻松的嵌入方式来呈现。具体的做法可以是在每堂课的最后五分钟进行反思, 或者每周安排一次小组合作活动。
如何判断一种方法是否有效呢? 要把“学生能不能在没有提示的情况下, 独自解决新情境里类似的问题”当作唯一的衡量标准。千万别被课堂气氛热不热闹这种表面现象给误导了。
11参考资源
这个教学方法的框架设计, 是参考了《义务教育数学课程标准（2022年版）》和《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》, 其中涉及的教学建议章节。一线的教师, 如果要获取完整的示范课例的话, 可以进一步查阅由那个中国数学会基础教育分会所发布的年度教学案例集。相关教研相关资料还有课题相关信息, 大家可以去 www.ldrk.org.cn 这个网站进行检索操作。该平台上面收录了很多多所中学数学教研活动组公开课的视频文件, 同时也提供了分层作业设计模板以及学生情势诊断工具包等材料。这些资源可供各位老师在进行课时准备工作时直接拿来调用使用。
结语说, 在中学数学这个教学领域里, 是不存在那种只要用一次就能把什么事儿都解决好的、所有人都适用的那种万能方法的。所谓的有效性这东西, 其实是来源于教师们对于学生的学习情况做出的那些非常精准的判断, 以及针对不同情况所组合起来的那些具体方法的配合。 老师们真正需要核心的能力, 并不是去掌握某一种特定的小技巧。相反, 老师们需要把自己训练成能够建立起这样一种持续的循环工作模式, 也就是先进行诊断, 然后根据诊断的结果去选择合适的方法, 接着去实施这个方法, 之后再反思效果如何, 最后再进行调整, 然后再进入下一个环节不断迭代的过程。把这上面提到的7种方法, 看作是手里的一个工具箱, 而不是死板的规定。大家要根据自己带的班级的情况, 还有上课的内容, 把这些方法进行灵活的搭配和使用。这样做到最后, 才算是真正能完成了把教学目标达成以后, 老师不再需要教学生也能学好的那个最终目的。
